Кристаллографические точечные группы и пространственные группы.

Опишем результаты аналогичного анализа проведенного для любых кристаллических структур, так как для решетки Браве. Возьмем структуры, отримаються, когда любой объект подвергнуть трансляциям образующих решетку Браве, и попробуем классифицировать группы симметрии подобных структур. Они зависят как от симметрии объекта, так и от симметрии решетки Браве.

Есть 230 разных групп симметрии решеток с базисом - 230 пространственных групп (когда наложено условие полной симметрии базиса есть лишь 14 пространственных групп).

Для Решетки Браве есть 7 точечных групп (7 кристаллографических систем) и 14 пространственных групп (решеток Браве).

Для кристаллических структур (базис произвольной симметрии) является 32 кристаллографических точечных групп и 230 пространственных групп.

Точечные группы описывают операции симметрии, которые переводят кристаллическую структуру в саму себя и оставляют и оставляют при этом неподвижной одну из ее точек, т.е. не трансляционные элементы симметрии. Кристаллическая структура может иметь 32 разных точечных групп которые возможно построить с 7 точечных групп решетки Браве, рассматривая систематически все возможные способы понижения симметрии объектов на фигурах описываемые этими группами.

Построение дает 25 новых групп. Каждая из них связана с одной из 7 кристаллических систем по следующему правилу: любая группа, построенная путем понижения симметрии объекта, который описывается некоторой кристаллической системе, продолжает принадлежать этой системе, пока симметрия не снизится так, чтоб все операции симметрии объекта Оставшиеся могут быть найдены тоже и в меньше симметричной кристаллической системе; когда это случается, группу симметрии объекта относят к меньше симметричной системы. Потому кристаллографическая точечная группа относится к кристаллической системы, которая имеет наименьшую симметрию с 7 точечных групп решетки Браве, которые имеют все операции симметрично данной кристаллографической группы.

Объекты с симметрией 5 кристаллографических точечных групп, относящихся к кубической системе, имеют вид (рис. 1):

Кристаллографические точечные группы могут иметь операции симметрии следующего вида:

1. Повороты на угол, кратный 2π / n, вокруг некоторой оси. Такое ось называют осью n-го порядка. Просто показать, что решетки Браве могут иметь лишь оси 2,3,4,6-го порядка. Т.к. кристаллографические точечные группы содержатся в точечных группах решеток Браве, они тоже могут иметь лишь ось этого порядка.

2. Повороты с отражением. Даже если поворот на угол 2π / n не - элемент симметрии, иногда подобный поворот с последующим отражением в плоскости, перпендикулярной его оси, может принадлежать группе симметрии. Тогда такую ​​ось называют зеркально - поворотная ось n-го порядка. К примеру группы S6, S4 имеют зеркально поворотные оси 6-го и 4-го порядка (рис.2).

3.Повороты с инверсией. Иногда поворот на угол 2π / n последующей инверсией сравнительно точки, лежащей на оси поворота, оказывается элементом симметрии, впрочем сам подобный поворот им не является.

Тогда такую ​​ось называют инверсионной осью n-го порядка. Ось в группе S4 (рис.2) является и инверсионной осью 4-го порядка. Ось в группе S6 является лишь инверсионной осью 3-го порядка.

4.Видбивання. Отражение переводит каждую точку в ее зеркальное отражение сравнительно некоторой плоскости, которая называется зеркальная.

5.Инверсии. При инверсии есть лишь 1 неподвижная точка. Если эту точку взять за старт отсчета, то любая иная точка r переходит в-r.